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算法分析和抽象数据类型👀

约 1248 个字 14 行代码 预计阅读时间 4 分钟

Perface👀

  • clock() ：捕捉从程序开始运行到 clock() 被调用所耗费的时间。
  • 这个时间单位是 clock tick ，即”时钟打点“。
  • 常数 CLK_TCK ：机器时钟每秒所走的时钟打点数。
Note 
      clock_t start, stop;
      /* clock_t 是 clock()函数返回的变量类型 */
      double duration;
      /* 记录被测函数运行时间，以秒为单位 */
      int main()
      {
          /* 不在测试范围内的准备工作放在clock()调用之前 */
          start = clock();    /* 开始计时 */
          MyFunction();
          stop = clock();
          duration = ((double)(stop - start))/CLK_TCK;
          /* 其他不在测试范围的处理写在后面，例如输出duration的值 */
          return 0;
      }

简介->什么是数据结构👀

数据对象在计算机中的组织方式👀

逻辑结构👀

  • 一对一的结构，叫做”线性结构“
  • 一对多的逻辑结构，叫做”树型结构“
  • 多对多的复杂关系网，这个关系网叫做”图“

物理存储结构 (如数组形式、链表形式 ···👀

Note

描述数据结构

抽象数据类型 (Abstract Data Type) | ADT

  1. 数据类型
    1. 数据对象集
    2. 数据集合相关联的操作集
  2. 抽象：描述数据类型的方法不依赖于具体实现
    1. 与存放和数据的机器无关
    2. 与数据存储的物理结构无关
    3. 与实现操作的算法和编程语言均无关
  • 只描述数据对象集和相关操作集”是什么“，并不涉及”如何做到“的问题
  • 其中的抽象可以从如下看
    • e.g：ElementType 是通用数据类型 (抽象)，需要 double ，在前面 define 即可
    • e.g：矩阵是用二维数组、一维数组还是十字链表实现的都不重要，只是实现一个矩阵
    • e.g：Matrix Add 中不在乎按行加还是按列加，用什么语言实现都不在乎

抽象的好处->一方面是提高程序的复用性，另一方面，让我们侧重去了解程序的逻辑结构

算法分析👀

定义👀

算法 (Algorithm)👀

  1. 一个有限指令集
  2. 接受一些输入 (有些情况下不需要输入)
  3. 产生输出
  4. 一定在有限步骤之后终止
  5. 每一条指令必须
    1. 有充分明确的目标，不可以产生歧义
    2. 计算机能处理的范围之内
    3. 描述应不依赖于任何一种计算机语言及具体的实现手段

衡量算法的两个指标👀

空间复杂度 S(n)👀

根据算法写成的程序在执行时 占用存储单元的长度 。这个长度往往与输入数据的规模有关。空间复杂度过高的算法可能导致使用的内存超限，造成程序非正常中断。

时间复杂度 T(n)👀

根据算法写成的程序在执行时 耗费时间的长度 。这个长度往往也与输入数据的规模有关。

复杂度的渐进表示法👀

  1. \(T(n) = O (f(n))\) 表示存在常数 \(C>0, n_0 > 0\), 使得当 \(n \ge n_0\) 时有 \(T(n) \le C×f(n)\)

  2. \(T(n) =\Omega(g(n))\) 表示存在常数 \(C>0，n_0>0\), 使得当 \(n \ge n_0\) 时有 \(T(n) \ge C×g(n)\)

  3. \(T(n) =\Theta(h(n))\) 表示同时有 \(T(n) = O(h(n))\) 和 \(T(n) = \Omega(h(n))\)

TIPs👀

  1. 若有两段算法分别有复杂度 \(T_1(n) = O(f_1(n))和T_2(n) = O(f_2(n))\)，则

    1. \(T_1(n) + T_2(n) = max(O(f_1(n)), O(f_2(n)))\) 表示两个算法拼接起来

    2. \(T_1(n) \times T_2(n) = O(f_1(n) \times f_2(n))\) 表示两个算法嵌套起来

  2. 若 \(T(n)\) 是关于n的k阶多项式，那么 \(T(n)= \Theta (n^k)\)

  3. 一个for循环的时间复杂度等于循环次数乘以循环体代码的复杂度

  4. if-else结构的复杂度取决于if的条件判断复杂度和两个分支部分的复杂度，总体复杂度取三者中最大

Checking Your Analysis👀

  1. Method 1

    1. When \(T(N) = O(N)\), check if \(T(2N)/T(N)\approx 2\)

    2. When \(T(N) = O(N^2)\), check if \(T(2N)/T(N)\approx 4\)

    3. When \(T(N) = O(N^3)\), check if \(T(2N)/T(N)\approx 8\)

    4. ···

  2. Method 2

    1. When \(T(N) = O(f(N))\), check if \(\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\frac{T(N)}{f(N)} \approx Constant\)

Info

一个分析复杂度的方法

主定理 | Master👀

介绍👀

Master定理，又称主定理，用于程序的时间复杂度计算 (常用于递归调用算法的时间复杂度)

用法👀

递归算法时间复杂度形如：

  1. \(T(n) = O(1), n = 1\)

  2. \(T(n) = aT(\frac{n}{b}) + f(n) , n > 1\)

其中，\(a \ge 1; b > 1 ;\)\(f(n)\) 表示不参与递归部分的时间复杂度, 规定 \(C_{crit}=log_ba\)

第二条公式表示：将一个规模为n的问题分为 \(a\) 个规模为 \(\frac{n}{b}\) 子问题，每次递归将带来 \(f(n)\) 的额外计算，然后通过对这 \(a\) 个子问题的解的综合，得到原问题的解

那么有：

  1. 当 \(f(n) = O(n^c)\) ，且 \(c < C_{crit}\) 时有： \(T(n) = \Theta(n^{C_{crit}})\)
Example

\(T(n) = 8T(\frac{n}{2}) + 1000n^2\)

此时 \(a=8, b=2, f(n)=1000n^2\)

\(c=2<3=log_ba=C_{crit}\)

故 \(T(n)=\Theta(n^3)\)

  1. 当 \(f(n)=O(n^c)\) , 且 \(c > C_{crit}\) 时有：\(T(n)=\Theta(f(n))\)
Example

\(T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n^2\)

此时 \(a=2, b=2, f(n)=n^2\)

\(c=2 > 1=log_ba=C_{crit}\)

故 \(T(n)=\Theta(n^2)\)

  1. 当 \(f(n)=O(n^c)\) , 且 \(c=C_{crit}\) 时：\(T(n)=\Theta(n^clog~n)\)

  2. 若存在非负整数 \(k\) ，使得 \(f(n)=\Theta(n^{C_{crit}}log_kn)\) ，那么 \(T(n)=\Theta(n^{C_{crit}}log_{k+1}n)\)

Quote
  1. 算法时间复杂度分析方法 - 代祖华 - 博客园
  2. Master定理学习笔记 - water_mi - 博客园
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